一、基础算法
快速排序算法模板
void quick_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1]; while (i < j) { do i ++ ; while (q[i] < x); do j -- ; while (q[j] > x); if (i < j) swap(q[i], q[j]); } quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r); }归并排序算法模板
void merge_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int mid = l + r >> 1; merge_sort(q, l, mid); merge_sort(q, mid + 1, r); int k = 0, i = l, j = mid + 1; while (i <= mid && j <= r) if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; else tmp[k ++ ] = q[j ++ ]; while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ]; for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j]; }整数二分算法模板
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用 ： int bsearch_1(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质 else l = mid + 1; } return l; } // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用： int bsearch_2(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; } return l; }浮点数二分算法模板
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 double bsearch_3(double l, double r) { const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求 while (r - l > eps) { double mid = (l + r) / 2; if (check(mid)) r = mid; else l = mid; } return l; }高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0 vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) { if (A.size() < B.size()) return add(B, A); vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ) { t += A[i]; if (i < B.size()) t += B[i]; C.push_back(t % 10); t /= 10; } if (t) C.push_back(t); return C; }高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0 vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) { vector<int> C; for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ) { t = A[i] - t; if (i < B.size()) t -= B[i]; C.push_back((t + 10) % 10); if (t < 0) t = 1; else t = 0; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }高精度乘低精度
// C = A * b, A >= 0, b >= 0 vector<int> mul(vector<int> &A, int b) { vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) { if (i < A.size()) t += A[i] * b; C.push_back(t % 10); t /= 10; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }高精度除以低精度
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0 vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { vector<int> C; r = 0; for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) { r = r * 10 + A[i]; C.push_back(r / b); r %= b; } reverse(C.begin(), C.end()); while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }一维前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i] a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]二维前缀和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和 以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为： S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]一维差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c二维差分
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c： S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c位运算
求n的第k位数字: n >> k & 1 返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n双指针算法
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) { while (j < i && check(i, j)) j ++ ; // 具体问题的逻辑 } 常见问题分类： (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间 (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作离散化
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值 sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序 alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素 // 二分求出x对应的离散化的值 int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置 { int l = 0, r = alls.size() - 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (alls[mid] >= x) r = mid; else l = mid + 1; } return r + 1; // 映射到1, 2, ...n }区间合并
// 将所有存在交集的区间合并 void merge(vector<PII> &segs) { vector<PII> res; sort(segs.begin(), segs.end()); int st = -2e9, ed = -2e9; for (auto seg : segs) if (ed < seg.first) { if (st != -2e9) res.push_back({st, ed}); st = seg.first, ed = seg.second; } else ed = max(ed, seg.second); if (st != -2e9) res.push_back({st, ed}); segs = res; }
二、数据结构
单链表
// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点 int head, e[N], ne[N], idx; // 初始化 void init() { head = -1; idx = 0; } // 在链表头插入一个数a void insert(int a) { e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ; } // 将头结点删除，需要保证头结点存在 void remove() { head = ne[head]; }双链表
// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点 int e[N], l[N], r[N], idx; // 初始化 void init() { //0是左端点，1是右端点 r[0] = 1, l[1] = 0; idx = 2; } // 在节点a的右边插入一个数x void insert(int a, int x) { e[idx] = x; l[idx] = a, r[idx] = r[a]; l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++ ; } // 删除节点a void remove(int a) { l[r[a]] = l[a]; r[l[a]] = r[a]; }栈
// tt表示栈顶 int stk[N], tt = 0; // 向栈顶插入一个数 stk[ ++ tt] = x; // 从栈顶弹出一个数 tt -- ; // 栈顶的值 stk[tt]; // 判断栈是否为空 if (tt > 0) { }队列
- 普通队列：
// hh 表示队头，tt表示队尾 int q[N], hh = 0, tt = -1; // 向队尾插入一个数 q[ ++ tt] = x; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; // 队头的值 q[hh]; // 判断队列是否为空 if (hh <= tt) { }- 循环队列
// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置 int q[N], hh = 0, tt = 0; // 向队尾插入一个数 q[tt ++ ] = x; if (tt == N) tt = 0; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; if (hh == N) hh = 0; // 队头的值 q[hh]; // 判断队列是否为空 if (hh != tt) { }单调栈
常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数 int tt = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ; stk[ ++ tt] = i; }单调队列
常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值 int hh = 0, tt = -1; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ; // 判断队头是否滑出窗口 while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ; q[ ++ tt] = i; }KMP
// s[]是长文本，p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度 求模式串的Next数组： for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ ) { while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ; ne[i] = j; } // 匹配 for (int i = 1, j = 0; i <= n; i ++ ) { while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ; if (j == m) { j = ne[j]; // 匹配成功后的逻辑 } }Trie 树
int son[N][26], cnt[N], idx; // 0号点既是根节点，又是空节点 // son[][]存储树中每个节点的子节点 // cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量 // 插入一个字符串 void insert(char *str) { int p = 0; for (int i = 0; str[i]; i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; p = son[p][u]; } cnt[p] ++ ; } // 查询字符串出现的次数 int query(char *str) { int p = 0; for (int i = 0; str[i]; i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if (!son[p][u]) return 0; p = son[p][u]; } return cnt[p]; }并查集
(1)朴素并查集： int p[N]; //存储每个点的祖宗节点 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b); (2)维护size的并查集： int p[N], size[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { p[i] = i; size[i] = 1; } // 合并a和b所在的两个集合： size[find(b)] += size[find(a)]; p[find(a)] = find(b); (3)维护到祖宗节点距离的并查集： int p[N], d[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) { int u = find(p[x]); d[x] += d[p[x]]; p[x] = u; } return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { p[i] = i; d[i] = 0; } // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b); d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量堆
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1 // ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置 // hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的 int h[N], ph[N], hp[N], size; // 交换两个点，及其映射关系 void heap_swap(int a, int b) { swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]); swap(hp[a], hp[b]); swap(h[a], h[b]); } void down(int u) { int t = u; if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2; if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1; if (u != t) { heap_swap(u, t); down(t); } } void up(int u) { while (u / 2 && h[u] < h[u / 2]) { heap_swap(u, u / 2); u >>= 1; } } // O(n)建堆 for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);一般哈希
(1) 拉链法 int h[N], e[N], ne[N], idx; // 向哈希表中插入一个数 void insert(int x) { int k = (x % N + N) % N; e[idx] = x; ne[idx] = h[k]; h[k] = idx ++ ; } // 在哈希表中查询某个数是否存在 bool find(int x) { int k = (x % N + N) % N; for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i]) if (e[i] == x) return true; return false; } (2) 开放寻址法 int h[N]; // 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置 int find(int x) { int t = (x % N + N) % N; while (h[t] != null && h[t] != x) { t ++ ; if (t == N) t = 0; } return t; }字符串哈希
核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低 小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果 typedef unsigned long long ULL; ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64 // 初始化 p[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { h[i] = h[i - 1] * P + str[i]; p[i] = p[i - 1] * P; } // 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值 ULL get(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }C++ STL简介
vector, 变长数组，倍增的思想 size() 返回元素个数 empty() 返回是否为空 clear() 清空 front()/back() push_back()/pop_back() begin()/end() [] 支持比较运算，按字典序 pair<int, int> first, 第一个元素 second, 第二个元素 支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序） string，字符串 size()/length() 返回字符串长度 empty() clear() substr(起始下标，(子串长度)) 返回子串 c_str() 返回字符串所在字符数组的起始地址 queue, 队列 size() empty() push() 向队尾插入一个元素 front() 返回队头元素 back() 返回队尾元素 pop() 弹出队头元素 priority_queue, 优先队列，默认是大根堆 size() empty() push() 插入一个元素 top() 返回堆顶元素 pop() 弹出堆顶元素 定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q; stack, 栈 size() empty() push() 向栈顶插入一个元素 top() 返回栈顶元素 pop() 弹出栈顶元素 deque, 双端队列 size() empty() clear() front()/back() push_back()/pop_back() push_front()/pop_front() begin()/end() [] set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列 size() empty() clear() begin()/end() ++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度 O(logn) set/multiset insert() 插入一个数 find() 查找一个数 count() 返回某一个数的个数 erase() (1) 输入是一个数x，删除所有x O(k + logn) (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器 lower_bound()/upper_bound() lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器 upper_bound(x) 返回大于x的最小的数的迭代器 map/multimap insert() 插入的数是一个pair erase() 输入的参数是pair或者迭代器 find() [] 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn) lower_bound()/upper_bound() unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表 和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1) 不支持 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，-- bitset, 圧位 bitset<10000> s; ~, &, |, ^ >>, << ==, != [] count() 返回有多少个1 any() 判断是否至少有一个1 none() 判断是否全为0 set() 把所有位置成1 set(k, v) 将第k位变成v reset() 把所有位变成0 flip() 等价于~ flip(k) 把第k位取反
三、搜索与图论
树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。(1) 邻接矩阵：g [a] [b] 存储边a->b
(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点 int h[N], e[N], ne[N], idx; // 添加一条边a->b void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; } // 初始化 idx = 0; memset(h, -1, sizeof h);树与图的遍历
时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
(1) 深度优先遍历int dfs(int u) { st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过 for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) dfs(j); } }(2) 宽度优先遍历
queue<int> q; st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过 q.push(1); while (q.size()) { int t = q.front(); q.pop(); for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过 q.push(j); } } }拓扑排序
时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
bool topsort() { int hh = 0, tt = -1; // d[i] 存储点i的入度 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (!d[i]) q[ ++ tt] = i; while (hh <= tt) { int t = q[hh ++ ]; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (-- d[j] == 0) q[ ++ tt] = j; } } // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。 return tt == n - 1; }朴素dijkstra算法
时间复杂是 O(n2+m)O(n2+m), nn 表示点数，mm 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边 int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定 // 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) { int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; // 用t更新其他点的距离 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); st[t] = true; } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }堆优化版dijkstra
时间复杂度 O(mlogn)O(mlogn), nn 表示点数，mm 表示边数
typedef pair<int, int> PII; int n; // 点的数量 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定 // 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号 while (heap.size()) { auto t = heap.top(); heap.pop(); int ver = t.second, distance = t.first; if (st[ver]) continue; st[ver] = true; for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > distance + w[i]) { dist[j] = distance + w[i]; heap.push({dist[j], j}); } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }Bellman-Ford算法
时间复杂度 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。int n, m; // n表示点数，m表示边数 int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离 struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重 { int a, b, w; }edges[M]; // 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。 int bellman_ford() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径， // 由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。 for (int i = 0; i < n; i ++ ) { for (int j = 0; j < m; j ++ ) { int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w; if (dist[b] > dist[a] + w) dist[b] = dist[a] + w; } } if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; return dist[n]; }spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中 // 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1 int spfa() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; queue<int> q; q.push(1); st[1] = true; while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入 { q.push(j); st[j] = true; } } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }spfa判断图中是否存在负环
时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中 // 如果存在负环，则返回true，否则返回false。 bool spfa() { // 不需要初始化dist数组 // 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己）， // 那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。 queue<int> q; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { q.push(i); st[i] = true; } while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; cnt[j] = cnt[t] + 1; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环 if (cnt[j] >= n) return true; if (!st[j]) { q.push(j); st[j] = true; } } } } return false; }floyd算法
时间复杂度是 O(n3), nn 表示点数
初始化： for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (i == j) d[i][j] = 0; else d[i][j] = INF; // 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离 void floyd() { for (int k = 1; k <= n; k ++ ) for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]); }朴素版prim算法
时间复杂度是 O(n2+m)O(n2+m), nn 表示点数，mm 表示边数
int n; // n表示点数 int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边 int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离 bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中 // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和 int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; if (i && dist[t] == INF) return INF; if (i) res += dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; }Kruskal算法
时间复杂度是 O(mlogm)O(mlogm), nn 表示点数，mm 表示边数
int n, m; // n是点数，m是边数 int p[N]; // 并查集的父节点数组 struct Edge // 存储边 { int a, b, w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int find(int x) // 并查集核心操作 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int kruskal() { sort(edges, edges + m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集 int res = 0, cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i ++ ) { int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并 { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1) return INF; return res; }染色法判别二分图
时间复杂度是 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
int n; // n表示点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图 int color[N]; // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色 // 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色 bool dfs(int u, int c) { color[u] = c; for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (color[j] == -1) { if (!dfs(j, !c)) return false; } else if (color[j] == c) return false; } return true; } bool check() { memset(color, -1, sizeof color); bool flag = true; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (color[i] == -1) if (!dfs(i, 0)) { flag = false; break; } return flag; }匈牙利算法
时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
// n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数 int n1, n2; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个 int match[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过 bool st[N]; bool find(int x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j] = true; if (match[j] == 0 || find(match[j])) { match[j] = x; return true; } } } return false; } // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点 int res = 0; for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st); if (find(i)) res ++ ; }
四、数学知识
试除法判定质数
bool is_prime(int x) { if (x < 2) return false; for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) return false; return true; }试除法分解质因数
void divide(int x) { for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { int s = 0; while (x % i == 0) x /= i, s ++ ; cout << i << ' ' << s << endl; } if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; cout << endl; }朴素筛法求素数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (st[i]) continue; primes[cnt ++ ] = i; for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true; } }线性筛法求素数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } }试除法求所有约数
vector<int> get_divisors(int x) { vector<int> res; for (int i = 1; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { res.push_back(i); if (i != x / i) res.push_back(x / i); } sort(res.begin(), res.end()); return res; }约数个数和约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck 约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1) 约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)欧几里得算法
int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }求欧拉函数
int phi(int x) { int res = x; for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { res = res / i * (i - 1); while (x % i == 0) x /= i; } if (x > 1) res = res / x * (x - 1); return res; }筛法求欧拉函数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_eulers(int n) { euler[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) { primes[cnt ++ ] = i; euler[i] = i - 1; } for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { int t = primes[j] * i; st[t] = true; if (i % primes[j] == 0) { euler[t] = euler[i] * primes[j]; break; } euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1); } } }快速幂
求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。 int qmi(int m, int k, int p) { int res = 1 % p, t = m; while (k) { if (k&1) res = res * t % p; t = t * t % p; k >>= 1; } return res; }扩展欧几里得算法
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b) int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1; y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= (a/b) * x; return d; }高斯消元
// a[N][N]是增广矩阵 int gauss() { int c, r; for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ ) { int t = r; for (int i = r; i < n; i ++ ) // 找到绝对值最大的行 if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i; if (fabs(a[t][c]) < eps) continue; for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行换到最顶端 for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c]; // 将当前行的首位变成1 for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) // 用当前行将下面所有的列消成0 if (fabs(a[i][c]) > eps) for (int j = n; j >= c; j -- ) a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; r ++ ; } if (r < n) { for (int i = r; i < n; i ++ ) if (fabs(a[i][n]) > eps) return 2; // 无解 return 1; // 有无穷多组解 } for (int i = n - 1; i >= 0; i -- ) for (int j = i + 1; j < n; j ++ ) a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n]; return 0; // 有唯一解 }递归法求组合数
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数 for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j <= i; j ++ ) if (!j) c[i][j] = 1; else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;通过预处理逆元的方式求组合数
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N] 如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元 int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板 { int res = 1; while (k) { if (k & 1) res = (LL)res * a % p; a = (LL)a * a % p; k >>= 1; } return res; } // 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数 fact[0] = infact[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i ++ ) { fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod; infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod; }Lucas定理
若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有： C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p) int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板 { int res = 1 % p; while (k) { if (k & 1) res = (LL)res * a % p; a = (LL)a * a % p; k >>= 1; } return res; } int C(int a, int b, int p) // 通过定理求组合数C(a, b) { if (a < b) return 0; LL x = 1, y = 1; // x是分子，y是分母 for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ ) { x = (LL)x * i % p; y = (LL) y * j % p; } return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p; } int lucas(LL a, LL b, int p) { if (a < p && b < p) return C(a, b, p); return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p; }分解质因数法求组合数
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用： 1. 筛法求出范围内的所有质数 2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ... 3. 用高精度乘法将所有质因子相乘 int primes[N], cnt; // 存储所有质数 int sum[N]; // 存储每个质数的次数 bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉 void get_primes(int n) // 线性筛法求素数 { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } } int get(int n, int p) // 求n！中的次数 { int res = 0; while (n) { res += n / p; n /= p; } return res; } vector<int> mul(vector<int> a, int b) // 高精度乘低精度模板 { vector<int> c; int t = 0; for (int i = 0; i < a.size(); i ++ ) { t += a[i] * b; c.push_back(t % 10); t /= 10; } while (t) { c.push_back(t % 10); t /= 10; } return c; } get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数 for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数 { int p = primes[i]; sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p); } vector<int> res; res.push_back(1); for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘 for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ ) res = mul(res, primes[i]);卡特兰数
给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为： Cat(n) = C(2n, n) / (n + 1)NIM游戏
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足：
由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。Mex运算
设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于SSG函数
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。有向图游戏的和
设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。
五、高级数据结构
树状数组：
int lowbit(int x) { return x & -x; } // add(x, k)表示将序列中第x个数加上k。 void add(int x, int k) { for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += k; } // ask(x)表示将查询序列前x个数的和 int ask(int x) { int sum = 0; for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += t[i]; return sum; }线段树：
//线段树的结点, 最大空间开4倍 struct Node { int l, r; int v; // 区间[l, r]中的最大值 }tr[N * 4]; void pushup(int u) // 由子节点的信息，来计算父节点的信息 { tr[u].v = max(tr[u << 1].v, tr[u << 1 | 1].v); } //u为当前线段树的结点编号 void build(int u, int l, int r) { tr[u] = {l, r}; if(l == r) return; int mid = l + r >> 1; build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r); } //查询以u为根节点，区间[l, r]中的最大值 int query(int u, int l, int r) { // Tl-----Tr // L-------------R //1.不必分治，直接返回 if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].v; int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; int v = 0; // Tl----m----Tr // L-------------R //2.需要在tr的左区间[Tl, m]继续分治 if(l <= mid) v = query(u << 1, l, r); // Tl----m----Tr // L---------R //3.需要在tr的右区间(m, R]继续分治 if(r > mid) v = max(v, query(u << 1 | 1, l, r)); // Tl----m----Tr // L-----R //2.3涵盖了这种情况 return v; } //以u为根节点，将所借结点包含x的值修改成v void modify(int u, int x, int v) { if(tr[u].l == tr[u].r) tr[u].v = v; //叶节点，递归出口 else { int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; //分治处理左右子树, 寻找x所在的子树 if(x <= mid) modify(u << 1, x, v); else modify(u << 1 | 1, x, v); //回溯，拿子结点的信息更新父节点, 即pushup操作 pushup(u); } }Treap:
#include <iostream> using namespace std; const int N = 100010, INF = 1e8; int n; struct Node { int l, r; // 左右儿子 int key; // 二叉搜索树权值 int val; // 大根堆的随机权值 int cnt; // 当前节点的key的重复个数 int size; // 当前节点的子孙节点个数 } tr[N]; //空间O(N) //Treap在以关键码构成二叉搜索树的同时，还满足堆的性质,且堆的权重随机,这使得treap的期望复杂度是logn int root, idx;// 根节点序号 和 序号 //更新父节点size信息,用儿子节点 void pushup(int p) { tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + tr[p].cnt; } //创建一个叶节点 int get_node(int key){ tr[++ idx].key = key; tr[idx].val = rand();//随机值 tr[idx].cnt = tr[idx].size = 1;//cnt,size return idx; } //初始化平衡树 左右哨兵 //y总:如果查询的结果可能不存在，那加上哨兵之后可以保证查询的结果一定存在，就不需要在查询过程中特判无解的 //情况了。 void build(){ get_node(-INF),get_node(INF); root = 1,tr[1].r = 2;//+inf > -inf,+inf在-inf右边 pushup(root);//更新root的size } //右旋 void zig(int &p){ //根变了,传引用 // 旋转的时候传root,root会变化,我们希望root还是真正的root,故用root // p始终指向根 int q = tr[p].l; //q是左儿子 tr[p].l = tr[q].r,//p的左儿子是q的右儿子 tr[q].r = p,//q的右儿子是p p = q;//p再变回根 pushup(tr[p].r),//更新p.r pushup(p);//不需要更新p是因为看着右旋图,右旋之前y左是A+B,y右是C,旋过之后实际上y左是A,y右是B+C, //但是不更新p,由于有 tr[q].r = p,相当于y的size由左侧的A+B和右侧的C构成,不影响最终size //但是p的r要更新,因为r由B和C构成(r旋前只有C) } //左旋 void zag(int &p){ int q = tr[p].r; tr[p].r = tr[q].l;//p的右儿子是q的左儿子 tr[q].l = p;//q的左儿子是p p = q;//p再变回根 pushup(tr[p].l); pushup(p); } //插入值key,从根开始 void insert(int &p,int key)//p是每一层根节点的指针 { if(!p) p = get_node(key);// 不存在根,则构造(最底层时构造节点) //由于这里是引用,传过来的是A节点的左或右,get_node之后A节点的左和右就是get_node的返回值idx,故完成了连接 else if (tr[p].key == key)tr[p].cnt ++; // 刚好key和p的key相等, 则直接增加cnt else if (tr[p].key > key){ // 当前节点值大于key,说明应该在左子树插入 insert(tr[p].l,key); //由于在左子树插入,插入左侧后左子树val可能大于根节点,左大右旋,保证堆的性质 if(tr[tr[p].l].val > tr[p].val) zig(p); } else{ insert(tr[p].r,key); //右大左旋 if(tr[tr[p].r].val > tr[p].val) zag(p); } pushup(p);//p是每一层的根,指针,自底向上更新p } void remove(int &p,int key){ if(!p) return ;//不存在要删除的值 if(tr[p].key == key){ //要删除当前节点 if(tr[p].cnt > 1)tr[p].cnt --; else if (tr[p].l || tr[p].r){ // 当前节点只有一个可以且有左儿子或右儿子 //注意rand函数>=0,左子树为空等价于idx = 0的点,其val为0 if(!tr[p].r||tr[tr[p].l].val > tr[tr[p].r].val){ //只存在左儿子(左val>右val_0)或左val>右val zig(p);//左val大右旋 remove(tr[p].r,key); } else//若存在右儿子且左val<右val //(左儿子也可能不存在, 不存在的话左儿子的val就是0, 肯定<=右儿子的val(val最小为0), 这个模板隐含了判存在操作) { zag(p);//右大左旋 remove(tr[p].l,key); } } else //不存在左右子树,是叶子节点 p = 0;//空节点 }else if (tr[p].key > key)remove(tr[p].l,key);//去左侧删 else remove(tr[p].r,key);//右侧删 pushup(p);// 自底向上更新p的size } //没有修改,不需要引用 int get_rank_by_key(int p, int key) // 通过数值找排名 { if (!p) return 0; if (tr[p].key == key) return tr[tr[p].l].size + 1;//左子树的size + 1(同样的数值中最靠左的) if (tr[p].key > key)return get_rank_by_key(tr[p].l,key);//大了,去左子树找 return tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt + get_rank_by_key(tr[p].r,key);//去右边找的时候找的是在右子树中的排名,需要加上左子树和根的cnt } int get_key_by_rank(int p, int rank) // 通过排名找数值 { if(!p) return INF; if(tr[tr[p].l].size >= rank) return get_key_by_rank(tr[p].l,rank); //左边的个数>=rank,说明数值在左边 if(tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt >= rank)return tr[p].key;//左子树个数不够,加上当前cnt又多了,那就是当前数值 return get_key_by_rank(tr[p].r,rank - tr[tr[p].l].size - tr[p].cnt); //去右子树中找数值,排名应该先减去左子树size+cnt } int get_prev(int p, int key) // 找到严格小于key的最大数 { if(!p) return -INF; if(tr[p].key >= key) return get_prev(tr[p].l,key);//当前大于key,右子树不考虑 return max(tr[p].key,get_prev(tr[p].r,key)); //当前key<key,不错,左子树都小于key所以不如key更好,所以考虑当前key和右子树 } int get_next(int p, int key) // 找到严格大于key的最小数 { if(!p) return INF; if(tr[p].key <= key)return get_next(tr[p].r,key); //当前key小于key,左子树不考虑 return min(tr[p].key,get_next(tr[p].l,key)); //当前key>key,不错,右子树都大于key所以不如key更好,所以考虑当前key和左子树 } int main(){ build(); int n; scanf("%d",&n); while(n --){ int op,x; scanf("%d%d",&op,&x); if(op == 1) insert(root,x); else if (op == 2) remove(root,x); else if (op == 3) printf("%d\n",get_rank_by_key(root,x) - 1);//查排名,有-INF,排名要-1 else if (op == 4) printf("%d\n",get_key_by_rank(root,x + 1));//查排名为x的数值,有-INF,内部排名为x + 1 else if (op == 5) printf("%d\n",get_prev(root,x)); else printf("%d\n",get_next(root,x)); } return 0; }AC自动机：https://www.acwing.com/solution/content/50169/
const int N = 10010, S = 55, M = 1000010; int trie[N * S][26], cnt[N * S], idx; //cnt[i]表示以i + 'a'为结尾的个数 idx为当前树节点的指针 char str[M]; //以"/0"为结尾，所以不用每次都更新 int que[N * S], fail[N * S]; //que[]表示队列 ， fail[]为失配指针(下标表示树节点的指针) int n; /**构建trie树**/ void insert(){ int p = 0; for(int i = 0;str[i];++i){ int u = str[i] - 'a'; if(!trie[p][u]) trie[p][u] = ++idx; p = trie[p][u]; } cnt[p]++; } /** 构造fail适配数组 : **/ void build(){ //构造fail数组，bfs int hh = 0,tt = -1; //队头和队尾指针 //根节点是第0层 for(int i = 0;i < 26;++i){ //第一层的元素全部入队 if(trie[0][i]) que[++tt] = trie[0][i]; } while(hh <= tt){ int ans = que[hh++]; //枚举当前队头的26个分支 for(int i = 0;i < 26;++i){ if(trie[ans][i]){ //如果存在我们就让它的fail指针指向他父亲节点 a 的 fail 指针指向的那个节点（根）的具有相同字母的子节点 fail[trie[ans][i]] = trie[fail[ans]][i]; que[++tt] = trie[ans][i]; //当前节点入队 }else{ //就算不存在，不跳，他的树节点值也等于父节点的fail指向的节点中具有相同字母的子节点 trie[ans][i] = trie[fail[ans]][i]; } } } } /** 匹配过程：**/ int res = 0; //j记录当前树节点的指针，初始是根节点 for(int i = 0,j = 0;str[i];++i){ //枚举总串str的每一个字母 int u = str[i] - 'a'; j = trie[j][u]; //跳到下一个树节点 int p = j; //每次从当前树节点开始 //fail[p]所指向的树节点如果有结尾标记可以直接算上，因为当前模式串后缀和fail指针指向的模式串部分前缀相同，所以是包含在里面的 while(p){ //假如模式串"she"可以匹配上，那么匹配到"e"的时候，用fail指针跳到模式串"he"的"e"，那么也一定能够匹配"he" res += cnt[p]; cnt[p] = 0; //去除标记 p = fail[p]; } }
六、图论
tarjan 强连通分量
void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++ timestamp; stk[++ top] = u, in_stk[u] = true; for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int j = e[i]; if(!dfn[j]) { tarjan(j); low[u] = min(low[u], low[j]); } else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]); } if(dfn[u] == low[u]) { ++ scc_cnt; int y; do { y = stk[top --]; in_stk[y] = false; id[y] = scc_cnt; Size[scc_cnt] ++; }while (y != u); } }
